La bella geometria- classe terza

I solidi composti

data di oggi:

Classe 3^a della scuola media

La bella geometria

Consideriamo la piramide e il cubo.

piramide

cubo

Un solido si dice composto quando si poggia su una delle facce di un primo solido un secondo solido.

cubo sormontato da piramide

cubo sormontato da piramide piccola

piramide incavata nel cubo

piramide piccola incavata nel cubo

Vi sono molti casi, uno diverso dall'altro. Nei problemi si chiede sia il volume totale sia l'area totale; a volte anche l'area laterale del solido composto. Cominciamo dalla superficie del solido composto.

Superficie del solido composto

Non si può mai fare la somma delle aree totali, in quanto i due solidi hanno sempre una faccia in comune o una parte in comune, che va sottratta dall'area totale.

cubo sormontato da piramide

Un primo esempio è quello di avere una piramide a base quadrata; il lato del quadrato ha la stessa misura dello spigolo del cubo. Di conseguenza una faccia del cubo resta nascosta. Il cubo ha sei facce; quattro sono le facce laterali, poi vi è la base del cubo, poi vi è la faccia superiore del cubo. La faccia superiore del cubo non si vede, cioè se osservo il solido composto, lo giro e lo rigiro: niente da fare!

Una faccia del cubo non si vede, in quanto la piramide è incollata sopra il cubo con la sua base. Nella piramide la faccia posta sopra il cubo non si vede, si dice piramide sormontata, cioè messa sopra il cubo. Oppure si dice cubo sormontato da una piramide con la base della piramide che occupa interamente la faccia superiore del cubo.

Per calcolare l'area totale del solido, cioè tutta la superficie che si vede, devo sommare l'area laterale della piramide, l'area laterale del cubo e aggiungere la base del cubo, cioè l'area di una faccia del cubo. Nell'area totale ci sono cinque facce del cubo e l'area laterale della piramide.

In questo caso la formula per l'area totale del solido è:

A_T= A_l della piramide + 5 x area di una faccia del cubo

A_cubo = 5 x lato x lato

se indichiamo lo spigolo del cubo con la lettere l (elle) minuscola.

Per la piramide l'area della superficie laterale, che indichiamo con A_l , la possiamo calcolare con la formula:

A_l =

In conclusione l'area totale del solido si calcola con la formula:

A_T= + 5 x l x l

Esempio

Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide regolare quadrangolare avente la base coincidente con una delle facce del cubo. Sapendo che lo spigolo del cubo misura 20 cm e l'apotema della piramide 26 cm, calcola l'area totale del solido.

Svolgimento

Occorre calcolare la superficie laterale della piramide. Poi calcoliamo l'area di una faccia del cubo e la moltiplichiamo per 5; oppure calcoliamo l'area laterale del cubo e aggiungiamo l'area di una faccia del cubo.

Partiamo dal cubo e calcoliamo l'area laterale.

Dati
Solido: Cubo
spigolo l = 20 cm
Soluzione

Si richiede la superficie laterale di un cubo avente spigoli l = 20 cm
Applico la formula:
A_l = 4 x l x l
ed ottengo:
A_l = 4 x 20 cm x 20 cm = 1600 cm²
Risposta
La superficie laterale del cubo è 1600 cm² .

Calcoliamo l'area laterale della piramide. Mi serve il perimetro della base della piramide.

Dati
Poligono: quadrato ABCD
lato l = AB = 20 cm
Soluzione

Si richiede il perimetro del quadrato ABCD i cui lati sono:
AB = BC = CD = DA = 20 cm
Applico la formula:
p = AB + BC + CD + DA
ed ottengo:
p = 20 cm + 20 cm + 20 cm + 20 cm = 80 cm

Risposta
Il perimetro del quadrato ABCD è 80 cm.

Ora conosco perimetro ed apotema; mi calcolo l'area laterale della piramide.

Dati
Solido: piramide quadrangolare
perimetro di base p = 80 cm
apotema a = 26 cm
Soluzione

Si richiede l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare il cui perimetro di base è:
p = 80 cm
l'apotema a = 26 cm
Applico la formula:
A_l = ed ottengo:
A_l = = 1040 cm²
Risposta
L'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare è 1040 cm².

Mi calcolo l'area laterale del solido sommando le due aree laterali.
Dati
area laterale del cubo = 1600 cm²
area laterale della piramide = 1040 cm²

Soluzione

Si richiede area laterale del solido sapendo che:
area laterale del cubo = 1600 cm²
area laterale della piramide = 1040 cm²
Applico la formula:
area laterale del solido = area laterale del cubo + area laterale della piramide
ed ottengo:
area laterale del solido = 1600 cm² + 1040 cm² = 2640 cm²

Risposta
area laterale del solido è 2640 cm²

Risposta
area laterale del solido è 2640 cm²

Ora calcolo l'area di una faccia del cubo.

Dati
Poligono: quadrato ABCD
lato l = AB = 20 cm
Soluzione
Si richiede l'area di un quadrato ABCD i cui lati sono:
AB = BC = CD = DA = 20 cm
Applico la formula:
A = lato x lato = AB x AB
ed ottengo:
A = 20 cm x 20 cm = 400 cm².
Risposta
L'area del quadrato ABCD è 400 cm².

Aggiungo la faccia del cubo all'area laterale del solido.

Dati
area laterale del solido = 2640 cm²
area di base del solido = 400 cm²

Soluzione

Si richiede area totale del solido sapendo che:
area laterale del solido = 2640 cm²
area di base del solido = 400 cm²
Applico la formula:
area totale del solido = area laterale del solido + area di base del solido
ed ottengo:
area totale del solido = 2640 cm² + 400 cm² = 3040 cm²

Risposta
area totale del solido è 3040 cm²

Secondo esempio

Ora consideriamo che la piramide sia interna al cubo.

piramide incavata nel cubo

Vediamo che la piramide è interna al cubo. Si dice piramide incavata nel cubo, cioè ho scavato un cubo e lo scavo ha forma di una piramide.

L'area totale del solido resta la stessa dell'esempio precedente.

Il lato del quadrato ha la stessa misura dello spigolo del cubo. Di conseguenza una faccia del cubo resta nascosta. Il cubo ha sei facce; quattro sono le facce laterali, poi vi è la base del cubo, poi vi è la faccia superiore del cubo. La faccia superiore del cubo non si vede, cioè se osservo il solido composto, lo giro e lo rigiro: niente da fare!

Una faccia del cubo non si vede, in quanto la piramide è dentro il cubo. Nella piramide la base posta dentro il cubo non si vede, si dice piramide incavata, cioè messa dentro il cubo.

In questo caso la formula per l'area totale del solido è:

A_T= A_l della piramide + 5 x area di una faccia del cubo

A_cubo = 5 x lato x lato

se indichiamo lo spigolo del cubo con la lettere l (elle) minuscola.

Per la piramide l'area della superficie laterale, che indichiamo con A_l , la possiamo calcolare con la formula:

A_l =

In conclusione l'area totale del solido si calcola con la formula:

A_T= + 5 x l x l

Terzo esempio

Ora consideriamo che la piramide sia esterna al cubo ma con lo spigolo di base più piccolo di quello del cubo.

piramide con spigolo di base minore dello spigolo del cubo

Vediamo che la piramide è esterna al cubo, ma ha lo spigolo di base di misura minore rispetto a quella del cubo.

ll lato del quadrato della piramide non ha la stessa misura dello spigolo del cubo. Di conseguenza una faccia del cubo non resta nascosta del tutto, ma solo in parte. Il cubo ha sei facce; quattro sono le facce laterali, poi vi è la base del cubo, poi vi è la faccia superiore del cubo. La faccia superiore del cubo si vede in parte, cioè se osservo il solido composto dall'alto vedo una parte della faccia del cubo, cioè quella non nascosta dalla piramide.

Nella piramide la faccia posta sopra il cubo non si vede, si dice piramide sormontata, cioè messa sopra il cubo. Oppure si dice cubo sormontato da una piramide con la base della piramide più piccola della faccia superiore del cubo.

Per calcolare l'area totale del solido, cioè tutta la superficie che si vede, devo sommare l'area laterale della piramide, l'area laterale del cubo, l'area della faccia inferiore del cubo e aggiungere la parte che si vede della base superiore del cubo.

Per calcolare questa parte superiore del cubo che si vede faccio la differenza tra l'area del quadrato di una faccia del cubo e l'area della base della piramide.

A_{base superiore del cubo in vista} = A_{base del cubo}- A_{base della
piramide}

Nell'area totale ci sono cinque facce del cubo, l'area laterale della piramide e la differenza tra l'area del quadrato di una faccia del cubo e l'area della base della piramide.

In questo caso la formula per l'area totale del solido è:

A_T= A_l della piramide + 6 x area di una faccia del cubo - area di base della piramide

Per evitare confusione tra gli spigoli indico con l₁ lo spigolo del cubo e con l₂ lo spigolo della piramide.

A_cubo = 6 x l₁ x l₁

se indichiamo lo spigolo del cubo con la lettere l (elle) minuscola.

Per la piramide l'area della superficie laterale, che indichiamo con A_l , la possiamo calcolare con la formula:

A_l =

In conclusione l'area totale del solido si calcola con la formula:

A_T= + 6 x l₁ x l₁ - l₂ x l₂

Esempio

Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide quadrangolare regolare. Lo spigolo di base della piramide misura 36 cm; l'apotema è di 30 cm. Lo spigolo del cubo è di 50 cm. Calcola l'area totale del solido.

Svolgimento

Mi calcolo dapprima la parte che si vede della faccia superiore del cubo. Mi calcolo l'area della faccia superiore del cubo.

Dati
Poligono: quadrato ABCD
lato l = AB = 50 cm
Soluzione
Si richiede l'area di un quadrato ABCD i cui lati sono:
AB = BC = CD = DA = 50 cm
Applico la formula:
A = lato x lato = AB x AB
ed ottengo:
A = 50 cm x 50 cm = 2500 cm².
Risposta
L'area del quadrato ABCD è 2500 cm².

Mi calcolo l'area di base della piramide.

Dati
Poligono: quadrato ABCD
lato l = AB = 36 cm
Soluzione
Si richiede l'area di un quadrato ABCD i cui lati sono:
AB = BC = CD = DA = 36 cm
Applico la formula:
A = lato x lato = AB x AB
ed ottengo:
A = 36 cm x 36 cm = 1296 cm².
Risposta
L'area del quadrato ABCD è 1296 cm².

Controllo che la base della piramide sia più piccola della faccia della cubo.

Dati
area di base del cubo = 2500 cm²
area di base della piramide = 1296 cm²

Soluzione
Confronto due numeri 2500 e 1296;
il numero 2500 è maggiore di 1296

Risposta
area di base del cubo è maggiore di area di base della piramide.

Ora faccio la differenza delle due aree, in modo da ottenere la parte in vista della faccia superiore del cubo.

Si richiede differenza di superficie sapendo che:
area maggiore = 2500 cm²
area minore = 1296 cm²
Applico la formula:
differenza di superficie = area maggiore - area minore ed ottengo:
differenza di superficie = 2500 cm² - 1296 cm² = 1204 cm²

Risposta
differenza di superficie è 1204 cm²

Ora mi calcolo l'area di 5 facce del cubo.

Calcolo area di 5 facce del cubo sapendo che:
area di una faccia = 2500 cm²
numero delle facce = 5
Applico la formula:
area di 5 facce del cubo = area di una faccia x numero delle facce ed ottengo:
area di 5 facce del cubo = 2500 cm² x 5 = 12500 cm²

Risposta
area di 5 facce del cubo è 12500 cm²

Mi calcolo l'area laterale della piramide. Mi serve il perimetro di base. Calcolo il perimetro del quadrato di base della piramide.

Dati
Poligono: quadrato ABCD
lato l = AB = 36 cm
Soluzione

Si richiede il perimetro del quadrato ABCD i cui lati sono:
AB = BC = CD = DA = 36 cm
Applico la formula:
p = AB + BC + CD + DA
ed ottengo:
p = 36 cm + 36 cm + 36 cm + 36 cm = 144 cm

Risposta
Il perimetro del quadrato ABCD è 144 cm

del quadrato ABCD è 144 cm

Dati
Solido: piramide quadrangolare
perimetro di base p = 144 cm
apotema a = 30 cm
Soluzione

Si richiede l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare il cui perimetro di base è:
p = 144 cm
l'apotema a = 30 cm
Applico la formula:
A_l = ed ottengo:
A_l = = 2160 cm²
Risposta
L'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare è 2160 cm².

Ora mi calcolo l'area totale del solido sommando l'area di 5 facce del cubo, l'area laterale della piramide e l'area che si vede della faccia superiore del cubo.

Dati
area di 5 facce del cubo = 12500 cm²
area laterale della piramide = 2160 cm²
differenza di area tra due basi = 1204 cm²

Soluzione

Si richiede area totale del solido sapendo che:
area di 5 facce del cubo = 12500 cm²
area laterale della piramide = 2160 cm²
differenza di area tra due basi = 1204 cm²
Applico la formula:
area totale del solido = area di 5 facce del cubo + area laterale della piramide + differenza di area tra due basi
ed ottengo:
area totale del solido = 12500 cm² + 2160 cm² + 1204 cm² = 15864 cm²

Risposta
area totale del solido è 15864 cm²

E' importante confrontare sempre l'area di base della piramide con l'area di una faccia del cubo. Consideriamo la seguente figura.

piramide con spigolo di base maggiore dello spigolo del cubo

Questa volta non posso fare la differenza delle due aree, in quanto la base della piramide è più grande della faccia del cubo, per cui la piramide non copre il cubo, ma è il cubo a coprire la piramide. Ne segue che l'area totale del solido è la somma dell'area di quattro facce del cubo, cioè l'area laterale del cubo, dell'area laterale della piramide e dell'intera area di base della piramide.

Volume della solido

Il volume del solido è la somma dei volumi dei due solidi componenti, quando i due solidi sono esterni. Quando, invece, un solido piccolo si trova internamente ad un solido grande, occorre fare la differenza tra il volume del solido grande meno il volume del solido piccolo.

Esempio

cubo sormontato da piramide

Notiamo che la piramide è esterna al cubo; ne segue che il volume totale del solido è la somma dei due volumi, cioè:

V_solido = V_cubo + V_piramide

La formula del volume del cubo è:

V_cubo = l x l x l

dove l è lo spigolo del cubo.

La formula del volume della piramide è:

V =

dove B indica la superficie della base inferiore ed h indica l'altezza della piramide.

Quindi il volume totale del solido sarà:

V_solido = l x l x l +

Esercizio

Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide quadrangolare regolare. Lo spigolo di base della piramide misura 36 cm; l'altezza della piramide è di 24 cm. Lo spigolo del cubo è di 36 cm. Calcola il volume del solido.

Svolgimento del problema

Mi calcolo l'area della base della piramide.

Dati
Poligono: quadrato ABCD
lato l = AB = 36 cm
Soluzione
Si richiede l'area di un quadrato ABCD i cui lati sono:
AB = BC = CD = DA = 36 cm
Applico la formula:
A = lato x lato = AB x AB
ed ottengo:
A = 36 cm x 36 cm = 1296 cm².
Risposta
L'area del quadrato ABCD è 1296 cm².
Mi calcolo il volume del cubo.

Dati
Solido: Cubo
spigolo l = 36 cm
Soluzione

Si richiede il volume di un cubo i cui spigoli sono: l = 36 cm
Applico la formula:
V = l x l x l
ed ottengo:
V = 36 cm x 36 cm x 36 cm = 46656 cm³
Risposta
Il volume del cubo è 46656 cm³ .

Mi calcolo il volume della piramide.

Dati
Solido: piramide quadrangolare
area di base B = 1296 cm²
altezza h = 24 cm
Soluzione
Si richiede il volume di una piramide quadrangolare la cui area della superficie di base è:
B = 1296 cm²
la cui altezza h = 24 cm
Applico la formula:

V = ed ottengo:

V = = 10368 cm³

Risposta
Il volume della piramide quadrangolare è 10368 cm³
Sommo i due volumi.
Dati
volume del cubo = 46656 cm³
volume della piramide = 10368 cm³

Soluzione

Si richiede volume del solido sapendo che:
volume del cubo = 46656 cm³
volume della piramide = 10368 cm³
Applico la formula:
volume del solido = volume del cubo + volume della piramide
ed ottengo:
volume del solido = 46656 cm³ + 10368 cm³ = 57024 cm³

Esempio

piramide incavata nel cubo

Notiamo che la piramide è interna al cubo; ne segue che il volume totale del solido è la differenza dei due volumi, cioè:

V_solido = V_cubo - V_piramide

La formula del volume del cubo è:

V_cubo = l x l x l

dove l è lo spigolo del cubo.

La formula del volume della piramide è:

V =

dove B indica la superficie della base inferiore ed h indica l'altezza della piramide.

Quindi il volume totale del solido sarà:

V_solido = l x l x l -

Esercizio

Un cubo ha una cavità a forma di piramide profonda 20 cm. Lo spigolo di base della piramide misura 30 cm e coincide con quello del cubo. Calcola il volume del solido.

Svolgimento del problema

Mi calcolo il volume del cubo.

Dati
Solido: Cubo
spigolo l = 30 cm
Soluzione

Si richiede il volume di un cubo i cui spigoli sono: l = 30 cm
Applico la formula:
V = l x l x l
ed ottengo:
V = 30 cm x 30 cm x 30 cm = 27000 cm³
Risposta
Il volume del cubo è 27000 cm³ .

Mi calcolo il volume della piramide. Mi serve l'area della base, che è un quadrato. Calcolo l'area del quadrato.

Dati
Poligono: quadrato ABCD
lato l = AB = 30 cm
Soluzione
Si richiede l'area di un quadrato ABCD i cui lati sono:
AB = BC = CD = DA = 30 cm
Applico la formula:
A = lato x lato = AB x AB
ed ottengo:
A = 30 cm x 30 cm = 900 cm².
Risposta
L'area del quadrato ABCD è 900 cm².

Dati
Solido: piramide quadrangolare
area di base B = 900 cm²
altezza h = 20 cm
Soluzione
Si richiede il volume di una piramide quadrangolare la cui area della superficie di base è:
B = 900 cm²
la cui altezza h = 20 cm
Applico la formula:

V = ed ottengo:

V = = 6000 cm³

Risposta
Il volume della piramide quadrangolare è 6000 cm³
Faccio la differenza dei due volumi.
Si richiede volume del solido sapendo che:
volume del cubo pieno = 27000 cm³
volume della piramide = 6000 cm³
Applico la formula:
volume del solido = volume del cubo pieno - volume della piramide ed ottengo:
volume del solido = 27000 cm³ - 6000 cm³ = 21000 cm³

Risposta
volume del solido è 21000 cm³