Il ruolo dei postulati

Il ruolo dei postulati
Quindi si giunge alla conclusione che, a seconda di come prendo i postulati io posso costruire un edificio logico perfettamente coerente, ma non posso dire se esso sia vero o falso; allora cio' che e' importante non sono gli oggetti su cui costruisco, ma le interrelazioni che esistono fra tali oggetti: la matematica deve studiare le relazioni piu' che le proprieta'; diceva Hilbert: "Non importa su cosa si studia, prima studiamo poi definiremo gli oggetti dello studio"
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Non solo, ma se il discorso e' valido per la geometria cosa succede nell'algebra e nell'aritmetica?
Gli anni successivi videro gli sforzi dei matematici per poter ricostruire le basi delle matematiche (chiamiamole cosi' visto che e' possibile costruirne tante), con Peano per i postulati dell'aritmetica, con la teoria degli insiemi, con la logica
La geometria Euclidea, comunque, anche se non va troppo d'accordo con il mondo reale, va benissimo finche' l'applichiamo al mondo di tutti i giorni, per la nostra esperienza quotidiana e pertanto si continua a studiarla ed applicarla, fermo restando che, se si vogliono studiare dei fenomeni di tipo atomico, astronomico e/o relativistico, dovremo utilizzare altri modelli matematici
Allora quale principio potrei mettere come base per studiare la geometria?
Si puo' studiare la geometria ponendo cura a cosa resta fisso se applico delle trasformazioni ed ottengo allora la geometria isometrica (che coincide con l'euclidea), la geometria affine, la geometria proiettiva, eccetera; Nasce in questi anni dal programma di Erlangen (1873) la geometria delle trasformazioni che (spero) vedremo in un futuro capitolo (anche perche' sempre piu' spesso e' materia d'esame nei licei scientifici)