In un triangolo isoscele l'altezza, la mediana e la bisettrice condotte dal vertice opposto alla base sono coincidenti


So che il triangolo e' isoscele e ne considero l'altezza, dimostro che allora e' anche mediana e bisettrice
posso anche prendere per ipotesi che il triangolo e' isoscele e considerarne la mediana
oppure prendere il triangolo isoscele e considerarne la bisettrice
Quindi ho tre possibili dimostrazioni
  1. So che il triangolo e' isoscele e ne considero l'altezza
    Ipotesi
    AB=AC   ABC=ACB AHB=AHC=angolo retto
    Tesi
    BH=HC   AHB=AHC
    Dimostrazione:

    Dimostriamo prima che e' mediana: essendo AH l'altezza BH e HC sono le proiezioni di due segmenti AB e AC congruenti per ipotesi e quindi sono congruenti BH ed HC (teoremi precedenti sulle proiezioni)

    Dimostriamo che e' bisettrice: considero i triangoli ABH ed AHC essi hanno
    AB=AC per ipotesi
    BH=HC perche' appena dimostrato
    AH in comune
    Quindi i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio ed in particolare avremo gli angoli AHB ed AHC congruenti fra loro

  2. So che il triangolo e' isoscele e ne considero la mediana
    Ipotesi
    AB=AC   ABC=ACB AH=HC
    Tesi
    BAH=CAH   AHB=AHC
    Dimostrazione:

    considero i triangoli AHB ed AHC essi hanno:

    AB=AC per ipotesi
    AH e' in comune
    BH=HC sempre per ipotesi
    Per il terzo criterio i due triangoli sono congruenti ed in particolare avremo gli angoli BAH=CAH ed anche gli angoli AHB=AHC che quindi saranno retti

  3. So che il triangolo e' isoscele e ne considero la bisettrice
    Ipotesi
    AB=AC   ABC=ACB   AHB=AHC
    Tesi
    BAH=CAH   AH=HC
    Dimostrazione:

    considero i triangoli AHB ed AHC essi hanno:

    AB=AC per ipotesi
    gli angoli ABC=ACB sempre per ipotesi
    gli angoli AHB=AHC ancora per ipotesi
    Per il secondo criterio i due triangoli sono congruenti ed in particolare sara' BH=CH ed anche gli angoli AHB=AHC che quindi saranno retti

Geometria nel piano - Dino Betti

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