In un parallelogramma le diagonali si tagliano a meta'
e viceversa
Se in un quadrilatero le diagonali si tagliano a meta' allora il quadrilatero e' un parallelogramma
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso
teorema diretto
| ipotesi AB // CD BC // AD |
tesi AO = OC BO=OD |
Dimostrazione
traccio le diagonali AC e BD e considero i due triangoli AOD e BOC; essi hanno:
- l'angolo DAO^ congruente all'angolo OCB^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BD tagliate dalla trasversale AC
- l'angolo ADO^ congruente all'angolo OBC^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD
- il lato AD e' congruente al lato BC per il primo dei teoremi dimostrati
teorema inverso
| ipotesi AO = OC BO=OD |
tesi AB // CD BC // AD |
Dimostrazione
considero i triangoli AOD e BOC, essi hanno
- AO = OC per ipotesi
- BO = OD per ipotesi
- AOD^ = BOC^ perche' opposti al vertice
I due triangoli AOD e BOC sono congruenti per il primo criterio e quindi hanno congruenti tutti gli elementi; in particolare:
essendo l'angolo ODA^ congruente all'angolo OCB^ ed essendo questi angoli alterni interni rispetto alle rette AD e BC tagliate dalla trasversale BD allora le due rette AD e BC saranno parallele
Basta ora considerare i triangoli AOB e COD e ripetere lo stesso ragionamento per dimostrare il parallelismo fra le rette AB e CD
come volevamo
Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e lati opposti congruenti, saranno equivalenti
