Teorema

Teorema
In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti
e viceversa
Se in un quadrilatero i lati opposti sono congruenti allora il quadrilatero e' un parallelogramma
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso

teorema diretto
in un parallelogramma i lati opposti sono congruenti

ipotesi
AB // CD BC // AD

tesi
AB = CD BC = AD

Dimostrazione
congiungo i punti B e D ed ottengo i due triangoli ABD e BDC; essi hanno:

ABD^e' congruente a BDC^perche' alterni interni rispetto alle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale BD
ADB^e' congruente all'angolo DBC^perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD
il lato BD in comune

Quindi i due triangoli ABD e BCD sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (un lato e due angoli) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi, in particolare AB = CD e BC = AD come volevamo

teorema inverso
Se in un quadrilatero i lati opposti sono congruenti allora il quadrilatero e' un parallelogramma

ipotesi
AB = CD BC = AD

tesi
AB // CD BC // AD

Dimostrazione
congiungo i punti B e D ed ottengo i due triangoli ABD e BDC; essi hanno:

il lato AB congruente al lato CD per ipotesi
il lato BC congruente al lato AD per ipotesi
il lato BD in comune

Quindi i due triangoli ABD e BCD sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli (tre lati) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi; in particolare:
essendo l'angolo ABD^ congruente all'angolo BDC^ ed essendo questi angoli alterni interni rispetto alle rette AB e CD tagliate dalla trasversale BD allora le due rette AB e CD saranno parallele
essendo l'angolo ADB^ congruente all'angolo DBC^ ed essendo questi angoli alterni interni rispetto alle rette BC e AD tagliate dalla trasversale BD allora le due rette BC e AD saranno parallele
come volevamo

Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e lati opposti congruenti, saranno equivalenti

Geometria nel piano - Dino Betti

Inferiore betti