Teorema diretto: Se un triangolo ha due lati congruenti allora ha anche due angoli congruenti

Se un triangolo ha due lati congruenti allora ha congruenti anche gli angoli opposti ai lati congruenti
Scriviamolo in modo geometrico: ipotesi, tesi e figura corrispondente

Ipotesi

AB=AC

Tesi

^ ^
A B C = B C A

Dimostrazione:

Nota sulla dimostrazione
Prolungo i lati AB ed AC oltre B e C di due segmenti congruenti BD e CE. Ora considero i triangoli ADC ed ABE (per comodita' te li estraggo nella figura a fianco); essi hanno:
AB = AC per ipotesi
AD = AE perche' somma di segmenti uguali
L'angolo in A uguale perche' in comune
Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio ed in particolare avranno congruenti l'altro lato e gli altri angoli
DC=BE    ACD=ABE    ADC=AEB
Considero ora i triangoli BDC e BEC; essi hanno
BD=CE per costruzione (li ho costruiti congruenti)
DC=BE perche' appena dimostrato
gli angoliBDC=BEC perche' appena dimostrato (corrispondono a ADC=AEB)
Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza ed in particolare avranno
gli angoli BCD e CBE congruenti.
Ora consideriamo gli angoli ABC ed ACB: essi sono congruenti perche' differenza degli angoli congruenti ACD e ABEcon gli angoli congruenti BCD e CBE
ACD - BCD = ACB     ABE - CBE = ABC
Come volevamo dimostrare

Da notare che per il teorema diretto e' sufficiente usare il primo criterio; infatti quando studiavo io veniva trattato subito dopo il primo criterio di congruenza; poi si e' preferito metterlo dopo il secondo criterio assieme al suo inverso in modo da formare quasi un unico teorema

Geometria nel piano - Dino Betti

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