Insieme quoaziente

Insieme quoziente

La relazione di equivalenza e' importantissima perche' se riusciamo ad individuarla su un insieme l'insieme stesso viene suddiviso in sottoinsiemi (chiamati anche classi) tali che formano una partizione dell'insieme di partenza, cioe' gli elementi di un nuovo insieme, l'insieme quoziente Esempi:

Considero l'insieme degli alunni di un istituto scolastico e considero la relazione
"e' nella stessa aula di"

E' riflessiva: ognuno e' nella stessa aula di se' stesso

E' simmetrica: se Alice e' nella stessa aula di Bruno anche Bruno e' nella stessa aula di Alice

E' transitiva: se Alice e' nella stessa classe di Bruno e Bruno e' nella stessa aula di Carla allora Alice e' nella stessa aula di Carla

Quindi e' una relazione di equivalenza Questa relazione divide tutti gli alunni dell'istituto scolastico in gruppi (classi) che corrispondono alle classi dell'istituto e l'insieme quoziente ha come elementi queste classi: 1A, 1B, 1C, 2A, 2B,.....

Considero l'insieme degli abitanti dell'Italia e considero la relazione
"abita nella stesso comune"

E' riflessiva: ognuno abita nello stesso comune di se' stesso

E' simmetrica: se Aldo abita nello stesso comune di Beatrice anche Beatrice abita nello stesso comune di Aldo

E' transitiva: se Antonio abita nello stesso comune di Bianca e Bianca abita nello stesso comune di Carlotta allora Antonio abita nello stesso comune di Carlotta

Quindi e' una relazione di equivalenza Questa relazione divide tutti i cittadini italiani in gruppi (classi) che corrispondono alle citta' italiane e l'insieme quoziente ha come elementi queste citta': Milano, Venezia, Bologna, Napoli, Palermo,.......

Matematicamente per individuare un elemento dell'insieme quoziente basta considerarne un singolo componente; ad esempio negli esempi visti sopra potrei dire
La classe dell'alunno Bianchi Ermenegildo
oppure
La citta' italiana dove abita Antelami Antinisco
Matematicamente, dobbiamo considerare tutti gli elementi distinguibili fra loro e perfettamente individuati dal loro nome, mentre nella realta' c'e' qualche problema perche' possono esservi delle persone con lo stesso nome