Verifica sperimentale dei due principi di Kirchhoff

Scegliamo un circuito su cui misurare le correnti e le tensioni in modo da verificare i due principi di Kirchhoff, cioè quello delle correnti ai nodi e quello delle tensioni nelle maglie.

E = 12 V

R1 = 100 W

R2 = 100 W

R3 = 1.000 W

R4 = 2.200 W

 

schema elettrico

dati conosciuti

Come vediamo nel circuito nel nodo A vi sono tre correnti.

Il principio di Kirchhoff delle correnti dice che in un qualunque nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti

Nel nodo A la formula è la seguente:

I1 = I3 + I4

Ci servono allora tre amperometri da collegare in modo da misurare le tre correnti; poiché gli amperometri vanno collegati in serie al circuito in cui si misura la corrente, occorre interrompere i collegamenti del nodo A e inserire in ogni collegamento un amperometro. Lo schema elettrico di misura diventa il seguente:

Schema elettrico di misura delle tre correnti nel nodo A

Calcoli teorici

Prima di effettuare la misura in laboratorio ci facciamo dei calcoli teorici, in modo da poter usare le portate opportune dei voltmetri e degli amperometri. Ci calcoliamo ora tutte le tensioni e tutte le correnti del circuito.

Poiché i due resistori R3 ed R4 sono in parallelo ci calcoliamo la loro resistenza equivalente Rp:

Rp =                             1                       =
                             1      +       1     .
                              R3                  R4 .

 

 =                1                       =  687,5 W
              1      +       1     .
            1000             2200 .

Sostituendo ai due resistori R3 ed R4 il loro parallelo Rp, il circuito diventa:

circuito equivalente a quello iniziale

Notiamo, ora, che i tre resistori sono collegati in serie e quindi ci calcoliamo  la resistenza equivalente dei tre resistori collegati in serie:

RT = R1 + R2 + Rp = 100 + 100 + 687,5 = 887,5 W

Il circuito diventa:

Circuito equivalente a quello iniziale

 

Con la legge di Ohm ci calcoliamo la corrente totale del circuito.

Vt = Rt x It

Ricaviamo la formula inversa e ci calcoliamo la corrente totale:

It =      Vt        12      =  0,0135211  A
             Rt            887,5

Ritornando, ora, al circuito equivalente con i tre resistori in serie:

circuito equivalente a quello iniziale

 

Essendo tutti i componenti collegati in serie avranno tutti la stessa corrente; quindi:

I1 = I2 = Ip =  It = 0,0135211 A

Non resta ora che calcolare le tre tensioni dei tre resistori:

V1 = R1 x I1= 100 x 0,0135211 = 1,35211 V

Analogamente per R2 otteniamo:

V2 = R2 x I2= 100 x 0,0135211 = 1,35211 V

Analogamente per Rp otteniamo:

Vp = Rp x Ip= 687,5 x 0,0135211 = 9,29577 V

schema elettrico iniziale

 

Ma poiché Rp rappresenta il parallelo tra R3 ed R4, vuol dire che sia R3 che R4  avranno la stessa tensione del parallelo, e cioè otteniamo:

V3 = V4 = Vp  =  9,29577 V

Non resta ora che calcolare le due correnti dei due resistori in parallelo:

I3 =      V3        9,295  0,009295  A
            R3             1000

I4 =      V4        9,295   0,004225  A
            R4            2200

 

 

Misura in laboratorio

In laboratorio disponiamo dei resistori con tolleranza del 5% e di strumenti di misura di classe 0,5. Di conseguenza avremo che i valori di misura pratici saranno differenti da quelli teorici, a causa sia della tolleranza dei resistori che degli errori introdotti dagli strumenti di misura.

Controlliamo prima il nodo A. Ci prepariamo ora una tabella in cui scrivere i risultati della misura, e, dopo aver controllato tutti i collegamenti, possiamo accendere l'alimentatore di tensione continua da 12 V

I1 [ mA] I3 [ mA] I4 [ mA] I3+ I4

13,52

9,14

4,33

13,49
lettura dell'amperometro lettura dell'amperometro lettura dell'amperometro  calcoli da fare

 

Come avevamo previsto le misure delle correnti sono diverse da quelle teoriche, a causa della tolleranza del 5% sul valore teorico dei resistori e agli errori di misura dovuti agli strumenti.

Inoltre la somma delle due correnti uscenti è diversa da quella entrante a causa degli errori di misura introdotti dagli amperometri.

Tuttavia possiamo tranquillamente dire che il primo principio delle correnti è soddisfatto nel nodo A, a meno degli errori di misura, dovuti alla classe di precisione degli strumenti utilizzati.

Verifica di una maglia

Consideriamo la maglia esterna del circuito, costituita dal generatore E e dai tre resistori R1, R4, R2. Poiché vogliamo misurare le tensioni di tutti i componenti della maglia, mettiamo quattro voltmetri, ciascuno in parallelo ai quattro componenti della maglia.

circuito di misura

 

Ci prepariamo ora una tabella in cui scrivere i risultati della misura, e, dopo aver controllato tutti i collegamenti, possiamo accendere l'alimentatore di tensione continua e regolarlo sui 12 V precisi.

E [ V] V1 [ V] V4 [ V] V2 [ V]

12,00

1,32

9,36

1,30
lettura del voltmetro lettura del voltmetro lettura del voltmetro lettura del voltmetro 

 

Vediamo, ora, se il secondo principio delle maglie è soddisfatto. Mettiamo i segni + e -vicino ad ogni resistore, e fissiamo un verso di percorrenza della maglia.

 

Circuito per scrivere l'equazione della maglia esterna

Applichiamo il secondo principio di Kirchhoff delle maglie. Facciamo prima la somma di tutti i generatori di tensione presenti, che poi è uno solo cioè E ; lo prendiamo col segno +, in quanto abbiamo incontrato prima il -. Anche le tre tensioni V1 e  V4 e  V2 le prendiamo col segno +, in quanto per i resistori il segno è concorde; quindi l'equazione della  maglia sarà:

E = V1 + V4 +V2

Mettendo i valori dei calcoli teorici, otteniamo

12 =  1,35211 + 9,29577 + 1,35211 = 11,99999

 

e quindi possiamo dire che il secondo principio è soddisfatto per i valori teorici, a meno delle approssimazioni delle cifre decimali.

Mettendo, invece, i valori misurati, otteniamo:

12 = 1,32 + 9,36 + 1,30 = 11,98

e quindi possiamo dire che il secondo principio è soddisfatto anche  per i valori misurati, a meno degli errori dovuti alla classe di precisione degli strumenti.

Osservazioni

In questa misura abbiamo semplificato i circuiti, trascurando sia le resistenze interne degli amperometri che le resistenze interne dei voltmetri. Infatti, se avessimo voluto fare le cose più precise, avremmo dovuto considerare nei calcoli teorici e in quelli pratici, non i valori dei resistori assegnati, ma quelli ottenuti:

1 - Per la misura delle correnti: la resistenza in serie di ciascun resistore sommata a quella interna del rispettivo amperometro;

2 - Per la misura delle tensioni: la resistenza di ciascun resistore in parallelo con la resistenza interna del rispettivo voltmetro.

In tal caso i calcoli sarebbero stati molto più complessi.

Simboli elettrici

Prof. Pietro De Paolis

 

Elettrotecnica per istituti tecnici

 

Economia generale

 

Elettrotecnica ed elettronica per professionali

 

Prima classe scuola primaria

 

Guida scolastica     

 

Scuola Elettrica 

 2003