6. Rette parallele

La geometrica analitica traduce propietà geometriche nel linguaggio dell'algebra. In questa sezione, applichiamo questo paradigma allo studio di due propietà geometriche: il parallelismo e la perpendicolarità

Spazi paralleli e spazi perpenva giustificazione nel Quinto Postulato di Euclide.dicolari

Nella geometria euclidea, il parallelismo tra rette è giustificato dal Quinto Postulato di Euclide. Le costruzioni della geometria analitica sono quindi un modello della geometria euclidea, come provato dal matematico A. Tarsky. E' ineterssante ossrvare che dai quattro postulati di Euclide si deriva comunque che

Fissata una retta r e un punto P esterno alla retta, esiste una retta parallela a r passante per P

Cominciamo a provare il seguente

Teorema 6.1 Un angolo esterno di un triangolo è sempre maggiore dei due angoli interni non adiacenti

Sia ABC un triangolo.

Sia delta = BCD. Costruiamo il punto medio di BC, indicato con M e prolunghiamo AM dalla parte opposta di BC per costruire il segmento EM congruente a AM. I ttiangoli AMB e EMC sono congrueti per il secondo criterio di congruenza -hanno gli angoli CME e BMA congruenti perchè opposti al vertice e i lati MC e ME congruenti rispettivamente a MB e AM per costruzione. Ne segue che gamma = BCE è più piccolo di BCD. Analogamente per BAC.

Teorema 6.2 Sia r una retta e P un punto esterno a r. Allora esiste una retta passante per P parallela as r

Sia la retta r, P un punto esterno ad r e S un punto di r. Tracciamo il segmento SP e indichiamo con delta uno degli angoli r e il segmmento. SP. Per il punto P, tracciamo una retta s che forma con SP un angolo di ampiezza delta.

se per assurdo la retta s incontra la retta r in pun punto T, nel triangolo l'angolo esterno in S sarebbe uguale all'angolo interno SPT, ma questo è in contraddizione con il teorema precedente. Pertanto, la retta s è parallela a r.

Cerchiamo di ripetere questi concetti in maniera algebrica.

6.2 Equazione della retta passante per un punto fissato

Sia r una retta di equazione

y= mx+n

e sia P(1;1) un punto del piano. La retta r passa per P

1=m1+n=m+n

ovvero

1=m+m

dovrà essere quindi

y-1=mx+n-m-n =mx-m

ovvero

y-1=m(x-1)

e questa è l'equazione di una retta passante per P con coefficiente angolare m.

Di conseguenza vale il

Teorema 6.3 Sia P(x_A,y_A) un punto del piano cartesiano. La retta generica per P ha equazione

6.3 Condizioni di parallelismo tra due rette del piano cartesiano

Sappiamo che due rette sono parallele se non si incontrano mai. Nel piano cartessiano, due rette si intersecano quando le soluzioni dell'equazione di una retta sono anche soluzioni dell'equazione dell'altra retta. In altri termini, intersecare due rette vuol dire mettere a sistema le loro equazioni. Con questa osservazione, otteniamo le seguenti proprietà

Proposizione 6.1 Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare, esse sono parallele

dimostrazione. Siano due rette r ed s, entrambe non parallele all'asse y. Supponiamo che siano distinte. Allora le loro equazioni sono

e

con n diverso da n'.

Mettiamole a sistema e risoviamole con il metodo del confronto. Avremo che deve essere

da cui si ricava

ma questo è impossibile. Quindi non ci sono soluzioni e le due rette sono parallele. Se le sud erette coincidono, banalmente avranno lo stesso coefficiente angolare. Se le due rette sono parallele all'asse y il teorema è subito dimostrato, cosi' come se una delle due è parallela all'asse y. (QUED)

Vale anche il viceversa

Proposizione 6.2 Siano r ed r' due rette parallele.. Allora hanno lo stesso coefficiente angolare.

Dimostrazione

Siano r ed r' due rette parallele di equazioni

e

Allora, il sistema di equazioni

è impossibile. Questo sistea, con il metodo del confronto, è equvalente a

ovvero

che è impossibile solo se la seconda equazione è impossibile, ovvero

da cui

Se una delle due rette è parallela all'asse y, la dimostrazione è immediata. (Q.E.D)

Quesi due risultati sono riassunti dal seguente

Teorema 6.4 Due rette nel piano cartesiano sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare

6.3 L'equazione di una retta passante per due punti

L'equazione di una retta passante per due punti si ottiene estendendo i risultatii del Teorema 6.3. Siano A(1;1) e B(2;2) due punti distinti del piano cartesiano. Sappiamo che per A e B passa una sola retta. Determiniamo la sua equazione. Per il Teorema 6.3, la retta generica passante per il punto A ha equazione

(y-1)=m(x-1)

Tra le infinite rette che passano per A, determiniamo quella che passa per B. Dovrà essere

(2-1)=m(2-1)

e quindi il coefficiente angolare della retta per A e B è

m=1

a questo punto riscriviamo la (1) e otteniamo l'equazione

y-1=1*(x-1)

da cui

y-1=x-1

e quindi l'equazione della retta per A e B è

y=x

Abbiamo quindi il

Teorema 6.5 Siano A(x_A;y_A) e B(x_B;y_B) due punti distinti del piano cartsiano. L'equazione della retta passante per A e B è

e il coefficiente angolare è