Teorema

ogni diagonale divide un parallelogramma in due triangoli congruenti
e viceversa
Se un quadrilatero e' diviso da ogni diagonale in due triangoli congruenti allora il quadrilatero e' un parallelogramma
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso
teorema diretto
Ogni diagonale divide un parallelogramma in due triangoli congruenti

ipotesi
AB // CD    BC // AD
tesi
    ABD = BCD    


Dimostrazione (uguale alla prima)
congiungo i punti B e D ed ottengo i due triangoli ABD e BDC; essi hanno:
  • l'angolo ABD^ congruente all'angolo BDC^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale BD
  • l'angolo ADB^ congruente all'angolo DBC^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD
  • il lato BD in comune
Quindi i due triangoli ABD e BCD sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (un lato e due angoli), come volevamo
teorema inverso
da notare che nel teorema specifico "ogni" diagonale perche' altrimenti, nel teorema inverso, potrebbe trattarsi di un "romboide" (tipo aquilone)



Se un quadrilatero e' diviso in due triangoli congruenti da entrambe le diagonali allora il quadrilatero e' un parallelogramma

ipotesi
   ABD = BCD   
ABC = ACD
tesi
AB // CD    BC // AD


Dimostrazione
I triangoli ABD e BCD sono congruenti per ipotesi e quindi hanno congruenti tutti gli elementi
Anche i triangoli ABC e ACD sono congruenti per ipotesi e quindi hanno congruenti tutti gli elementi
in particolare AB=CD ed AD=BC ma questi essendo lati opposti congruenti di un quadrilatero ne segue che il quadrilatero e' un parallelogramma (come abbiamo gia' dimostrato)
Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e lati opposti congruenti, saranno equivalenti

Geometria nel piano - Dino Betti

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