ogni diagonale divide un parallelogramma in due triangoli congruenti
e viceversa
Se un quadrilatero e' diviso da ogni diagonale in due triangoli congruenti allora il quadrilatero e' un parallelogramma
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso
teorema diretto
| ipotesi AB // CD BC // AD |
tesi ABD = BCD |
Dimostrazione (uguale alla prima)
congiungo i punti B e D ed ottengo i due triangoli ABD e BDC; essi hanno:
- l'angolo ABD^ congruente all'angolo BDC^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale BD
- l'angolo ADB^ congruente all'angolo DBC^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD
- il lato BD in comune
teorema inversoda notare che nel teorema specifico "ogni" diagonale perche' altrimenti, nel teorema inverso, potrebbe trattarsi di un "romboide" (tipo aquilone)
| ipotesi ABD = BCD ABC = ACD |
tesi AB // CD BC // AD |
Dimostrazione
I triangoli ABD e BCD sono congruenti per ipotesi e quindi hanno congruenti tutti gli elementi
Anche i triangoli ABC e ACD sono congruenti per ipotesi e quindi hanno congruenti tutti gli elementiin particolare AB=CD ed AD=BC ma questi essendo lati opposti congruenti di un quadrilatero ne segue che il quadrilatero e' un parallelogramma (come abbiamo gia' dimostrato)
Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e lati opposti congruenti, saranno equivalenti
