In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti
e viceversa
Se in un quadrilatero gli angoli opposti sono congruenti allora il quadrilatero e' un parallelogramma
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso
teorema diretto
| ipotesi AB // CD BC // AD |
tesi BCD^ = BAD^ ABC^ = ADC^ |
Dimostrazione (quasi uguale alla precedente)
congiungo i punti B e D ed ottengo i due triangoli ABD e BDC; essi hanno:
- l'angolo ABD congruente all'angolo BDC perche' alterni interni rispetto alle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale BD
- l'angolo ADB congruente all'angolo DBC perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD
- il lato BD in comune
Per quanto riguarda gli altri due angoli basta osservare che sono somma di angoli congruenti e quindi congruenti come volevamo
teorema inverso
| ipotesi BCD^ = BAD^ ABC^ = ADC^ |
tesi AB // CD BC // AD |
Dimostrazione
Essendo ABCD un quadrilatero la somma degli angoli interni vale
due angoli piattise gli angoli sono due a due congruenti allora due angoli susseguentisi valgono un angolo piatto
Ad esempio consideriamo DAB^ + ABC^ = angolo piatto
ma gli angoli DAB^ e ABC^ sono angoli coniugati interni rispetto alle rette AD e BC tagliate dalla trasversale AB ed essendo congruenti ne segue che le due rette sono parallele.
Puoi fare lo stesso ragionamento per dimostrare che le altre due rette AB e CD sono parallele
Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e angoli opposti congruenti, saranno equivalenti
