Esercizi sui multipli e sottomultipli
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La bella geometria
Le altre operazioni che abbiamo studiato sui segmenti sono: la moltiplicazione di un numero per un segmento e la divisione di un segmento per un numero. Se moltiplichiamo un segmento per un numero, otteniamo un multiplo del segmento. Se dividiamo un segmento per un numero, otteniamo un sottomultiplo del segmento.
Il discorso che faremo in questa pagina è fondamentale per la risoluzione dei problemi di geometria in cui compaiono le frazioni; riguarda, quindi, non solo la retta ed il segmento, ma riguarda il piano e le aree delle superfici piane, riguarda lo spazio e il volume dei solidi.
Le frazioni
Se prendiamo un segmento e lo dividiamo in quattro parti, otteniamo quattro segmenti uguali tra di loro, cioè quattro segmenti congruenti. Se sommiamo le lunghezze dei quattro segmenti, otteniamo la lunghezza iniziale del segmento.
Ognuno dei quattro segmenti è un quarto del segmento iniziale; un quarto lo possiamo scrivere anche in questo modo:
cioè tiriamo una linea orizzontale, nella parte di sopra mettiamo un 1; nella parte di sotto mettiamo un 4. Otteniamo una frazione. La frazione:
si legge "un quarto".
Il numero che si trova sopra la frazione si chiama numeratore; il numero che si trova sotto la frazione si chiama denominatore.
Se ora andiamo a considerare gli altri 3 segmenti rimasti, possiamo dire che la loro somma è pari a tre quarti. Tre quarti lo possiamo scrivere sotto forma di frazione:
si legge: "tre quarti".
Se ora sommiamo i tre segmenti al primo segmento otteniamo:
+
=
=
= 1
si legge: "tre quarti più un quarto uguale a quattro quarti; uguale a uno su uno; uguale a uno".
Se ora consideriamo il primo segmento AB lungo
del segmento iniziale AC e lo confrontiamo con i tre segmenti sommati insieme,
cioè con BC,
possiamo dire che il primo segmento AB è un terzo dei tre segmenti sommati
insieme, cioè:
AB =
BC
Questa considerazione è importante quando dobbiamo risolvere dei problemi di questo tipo seguente.
Esercizio 1
La somma di due segmenti misura 24 cm ed il maggiore è il triplo del minore; calcola la misura dei due segmenti.
Svolgimento del problema
Eseguiamo dapprima il disegno dei segmenti.
Il disegno è in scala, cioè:
AB = 1 unità
BC = 3 unità
AC = 1+3 = 4 unità
BC = 3 AB
Che cosa vuol dire che BC è il triplo di AB?
Vuol dire anche che:
AB =
BC
Però non sappiamo quanto è lungo il segmento unitario AB, sappiamo solo che:
AB + BC = 24 cm
Per risolvere questo tipo di problemi consideriamo dapprima la frazione del
problema cioè ;
il numeratore della frazione è 1; il denominatore è 3; li sommiamo:
1 + 3 = 4
Dobbiamo dividere la somma dei due segmenti in 4 parti.
Sapendo che la somma dei due segmenti è 24 cm, la dividiamo per 4 ed otteniamo:
24 : 4 = 6 cm
Cioè il segmento unitario AB = 6 cm
Ed essendo BC il triplo di AB, otteniamo:
BC = 3 AC = 3 x 6 = 18 cm
Verifichiamo che la somma sia 24 cm.
6 cm + 18 cm = 24 cm
Quindi abbiamo operato correttamente.
Risposta
Un primo segmento AB = 6 cm
Un secondo segmento BC = 18 cm
Esercizio
2La somma di due segmenti misura 25 cm ed il minore è 2/3 del maggiore; calcola la misura dei due segmenti.
Svolgimento del problema
Eseguiamo dapprima il disegno dei segmenti.
Il disegno è in scala, cioè:
AB = 2 unità
BC = 3 unità
AC = 2+3 = 5 unità
AB =
BC
Però non sappiamo quanto è lungo il segmento unitario, sappiamo solo che:
AB + BC = 25 cm
Per risolvere questo tipo di problemi consideriamo dapprima la frazione del
problema cioè ;
il numeratore della frazione è 2; il denominatore è 3; li sommiamo:
2 + 3 = 5
Dobbiamo dividere la somma dei due segmenti in 5 parti.
Sapendo che la somma dei due segmenti è 25 cm, la dividiamo per 5 ed otteniamo:
25 : 5 = 5 cm
Cioè il segmento unitario = 5 cm
Però AB è due volte il segmento unitario, quindi:
AB = 2 x 5 = 10 cm
BC il triplo del segmento unitario, cioè:
BC = 3 x 5 = 15 cm
Verifichiamo che la somma sia 25 cm.
10 cm + 15 cm = 25 cm
Verifichiamo inoltre che:
AB =
BC = (2 x 15):3 = 30:3 =10 cm
Quindi abbiamo operato correttamente.
Risposta
Un primo segmento AB = 10 cm
Un secondo segmento BC = 15 cm
Esercizio 3
La somma di due segmenti misura 25 cm ed il maggiore è 3/5 della somma; calcola la misura dei due segmenti.
Svolgimento del problema
Eseguiamo dapprima il disegno dei segmenti.
Il disegno è in scala, cioè:
AB = 2 unità
BC = 3 unità
AC = 2+3 = 5 unità
BC =
AC
AB =
AC
Però non sappiamo quanto è lungo il segmento unitario, sappiamo solo che:
AB + BC = 25 cm
Per risolvere questo tipo di problemi consideriamo dapprima la frazione del
problema cioè ;
il numeratore della frazione è 3; il denominatore è 5; questa volta, però, non
li dobbiamo sommare in quanto i quinti di cui si parla sono i quinti della
somma; cioè dei cinque quinti della somma tre quinti sono di BC e i rimanenti
due quinti sono di AB. Infatti:
+
=
=
= 1
Dobbiamo dividere la somma dei due segmenti in 5 parti.
Sapendo che la somma dei due segmenti è 25 cm, la dividiamo per 5 ed otteniamo:
25 : 5 = 5 cm
Cioè il segmento unitario = 5 cm
Però AB è due volte il segmento unitario, quindi:
AB = 2 x 5 = 10 cm
BC il triplo del segmento unitario, cioè:
BC = 3 x 5 = 15 cm
Verifichiamo che la somma sia 25 cm.
10 cm + 15 cm = 25 cm
Verifichiamo inoltre che:
BC =
AC = (3 x 25):5 = 75:5 =15 cm
Quindi abbiamo operato correttamente.
Risposta
Un primo segmento AB = 10 cm
Un secondo segmento BC = 15 cm
Esercizio 4
La differenza di due segmenti misura 9 cm ed il minore è 2/5 del maggiore; calcola la misura dei due segmenti.
Svolgimento del problema
Eseguiamo dapprima il disegno dei segmenti.
Il disegno è in scala, cioè:
AB = 5 unità
CD = 2 unità
DB = 3 unità
CD =
AB
Però non sappiamo quanto è lungo il segmento unitario, sappiamo solo che:
AB - CD = 9 cm
Per risolvere questo tipo di problemi consideriamo dapprima la frazione del
problema cioè ;
il numeratore della frazione è 2; il denominatore è 5; facciamo la loro
differenza:
5 - 2 = 3
Dobbiamo dividere la differenza dei due segmenti in 3 parti.
Sapendo che la differenza dei due segmenti è 9 cm, la dividiamo per 3 ed otteniamo:
9 : 3 = 3 cm
Cioè il segmento unitario = 3 cm
Però AB è cinque volte il segmento unitario, quindi:
AB = 5 x 3 = 15 cm
CD il doppio del segmento unitario, cioè:
CD = 2 x 3 = 6 cm
Verifichiamo che la differenza sia 9 cm.
15 cm - 6 cm = 9 cm
Verifichiamo inoltre che:
CD =
AB = (2 x 15):5 = 30:5 = 6 cm
Quindi abbiamo operato correttamente.
Risposta
Un primo segmento AB = 15 cm
Un secondo segmento CD = 6 cm
Esercizio 5
La differenza di due segmenti misura 9 cm ed il maggiore è 5/3 della differenza; calcola la misura dei due segmenti.
Svolgimento del problema
Eseguiamo dapprima il disegno dei segmenti.
Il disegno è in scala, cioè:
AB = 5 unità =
DB
CD = 2 unità
DB = 3 unità
Però non sappiamo quanto è lungo il segmento unitario, sappiamo solo che:
AB - CD = 9 cm
Per risolvere questo tipo di problemi consideriamo dapprima la frazione del
problema cioè ;
il numeratore della frazione è 5; il denominatore è 3; questa volta non
dobbiamo fare la loro differenza in quanto i terzi di cui si parla sono già i
terzi della differenza; quindi la differenza va divisa in tre parti.
Sapendo che la differenza dei due segmenti è 9 cm, la dividiamo per 3 ed otteniamo:
9 : 3 = 3 cm
Cioè il segmento unitario = 3 cm
Però AB è cinque volte il segmento unitario, quindi:
AB = 5 x 3 = 15 cm
CD il doppio del segmento unitario, cioè:
CD = 2 x 3 = 6 cm
Verifichiamo che la differenza sia 9 cm.
15 cm - 6 cm = 9 cm
Verifichiamo inoltre che AB sia cinque terzi della differenza:
AB =
DB = (5 x 9):3 = 45:3 = 15 cm
Quindi abbiamo operato correttamente.
Risposta
Un primo segmento AB = 15 cm
Un secondo segmento CD = 6 cm
Teoria sui multipli e sottomultipli di segmenti
prof. Pietro De Paolis
Corso di geometria per scuola media
Corso di matematica per scuola media
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