Equazione della retta

Disegniamo su di un piano un sistema di assi cartesiani ortogonali di ascissa x ed ordinata y; tracciamo una retta r passante per l'origine degli assi il punto O(0,0);

grafico di una retta

La retta tracciata è il grafico di una funzione di primo grado; vediamo ora di scrivere l'equazione di questa funzione.

Consideriamo i tre triangoli OAA', OBB', OCC' essi sono tre triangoli simili.

tre triangoli simili

Sono simili in quanto hanno in comune l'angolo in O; essendo simili, oltre ad avere uguali anche gli altri due angoli, hanno pure i tre lati, corrispondenti ad ogni angolo, proporzionali. Scegliendo i lati paralleli ai due assi, otteniamo:

Ma, essendo:

AA'= y₁

BB'=y₂

CC'=y₃

.....

ed inoltre:

OA'=x₁

OB'=x₂

OC'=x₃

....

otteniamo:

questo vuol dire che facendo il rapporto tra l'ordinata y e l'ascissa x otteniamo un numero costante, che possiamo indicare con la lettera m, e scrivere:

oppure:

y=mx

Dove con x e y abbiamo indicato le coordinate di un generico punto P(x;y) scelto a piacere. Poiché i punti li abbiamo scelti a piacere sulla retta, possiamo affermare che l'equazione è valida per qualunque punto P(x;y) della retta r.

Possiamo, inoltre, definire la retta come l'insieme di punti che soddisfano l'equazione di primo grado:

y=mx

Il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta r; m è detto anche pendenza della retta r.

a indica la pendenza o coefficiente angolare

Dal valore di m dipende l'angolo a che la retta r forma con il verso positivo dell'asse x.

grafico di tre rette con m=2; 1; 0,5

Se m>0 la retta forma, con il verso positivo dell'asse x, un angolo acuto, che va da 0° fino a 90°. Questo è dovuto al fatto che le due coordinate dei punti che appartengono alla retta sono di segno concorde, cioè o tutti e due positivi, e quindi appartengono al primo quadrante, oppure tutti e due negativi, e quindi appartangono al terzo quadrante.

se le due coordinate sono negative le rette appartangeono al terzo quadrante

L'angolo che la retta forma, con il verso positivo dell'asse x, è acuto.

l'angolo a aumenta all'aumentare di m

All'aumentare di m da 0 a ¥ l'angolo a aumenta da 0° fino a 90°. Vediamo ora due casi particolari di m, e cioè m=0 ed m=¥ .

1° caso : m=0

Quando m=0 l'angolo a =0°.

per m=0 l'angolo a =0

La retta r è, quindi, orizzontale e passa per l'origine degli assi O(0,0).

Dalla equazione:

y=mx

essendo m=0 otteniamo:

y=0

La equazione y=0 rappresenta una retta parallela all'asse x e che passa per l'origine O(0,0), quindi rappresenta lo stesso asse x.

2° caso : m=¥

se m=¥ si ha che a=90°

In particolare se m=¥ si ha che a=90°. Questo è un caso particolare di retta. Dalla equazione:

y=mx

ci ricaviamo la x, facendo la formula inversa, ed otteniamo:

Ponendo m=¥ otteniamo

Nella frazione, essendo il denominatore un numero molto grande, precisamente ¥ , possiamo ritenere che il valore della frazione stessa sia molto piccolo, quindi nullo, e porre x=0. La equazione x=0 rappresenta una retta parallela all'asse y e che passa per l'origine O(0,0), quindi rappresenta lo stesso asse y.

Coordinate di segno discorde

Se le due coordinate x ed y sono di segno discorde, cioè l'una positiva e l'altra negativa, il valore di m sarà negativo, quindi:

m<0

Questo vuol dire che le rette si trovano o nel secondo quadrante, con x negative ed y positive, oppure nel quarto quadrante, con x positive e y negative.