Potenza fra numeri reali con esponente reale
Dobbiamo studiare
ar
con a ed r numeri reali
Qui dobbiamo distinguere tre casi diversi
- a > 1
Se la base e' maggiore di 1 allora possiamo procedere come nel caso del prodotto (ricorda che la potenza e' un prodotto ripetuto):
Come classe inferiore della potenza prenderemo l'insieme dei numeri razionali negativi, il numero zero ed i numeri che si ottengono elevando i numeri positivi della classe inferiore di a all'esponente dato dai numeri positivi della classe inferiore di r
Come classe superiore prenderemo i numeri della classe superiore di a elevati ai numeri della classe superiore di r
- 0 <a < 1
Qui abbiamo il problema che elevando un numero inferiore ad 1 a potenza crescente il risultato diminuisce, quindi dobbiamo scambiare i numeri positivi della classe superiore con i numeri positivi della classe inferiore cioe':
Come classe inferiore della potenza prenderemo l'insieme dei numeri razionali negativi, il numero zero ed i numeri che si ottengono elevando i numeri positivi della classe superiore di a all'esponente dato dai numeri positivi della classe superiore di r
Come classe superiore prenderemo i numeri della classe inferiore di a elevati ai numeri della classe inferiore di r
- a < 0
In queso caso non possiamo definire la potenza:
la potenza reale non razionale di un numero reale negativo non e' definita
In pratica, per i calcoli, non ce ne importa niente perche' vedremo in analisi che e' possibile sostituire ad un numero il suo limite e quindi possiamo approssimare quanto vogliamo la potenza ad esponente reale con la potenza ad esponente razionale
definiamo anche i casi particolari:
1r = 1
0r = 0
00 = 1
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