Teorema del rettangolo e parallelogramma

Teorema
in ogni rettangolo le diagonali sono congruenti
e viceversa
se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti allora il parallelogramma e' un rettangolo
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso

teorema diretto
in ogni rettangolo le diagonali sono congruenti

ipotesi
ABCD rettangolo

tesi
AC = BD

Nell'ipotesi e' compreso il fatto che sia un parallelogramma (con tutte le sue proprieta') ed abbia i quattro angoli congruenti; non scrivo tutto perche' mi ci vuole mezza pagina

Dimostrazione
considero i triangoli ABC e BCD; (per renderteli piu' chiari nella figura li ho estratti)
essi hanno:

ABC^= BCD^per ipotesi
AB = CD perche' lati opposti di un parallelogramma
il lato BC in comune

Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli (due lati ed un angolo) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi, in particolare AC = BD come volevamo

teorema inverso
se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti allora il parallelogramma e' un rettangolo

ipotesi
ABCD parallelogramma
AC = BD

tesi
ABC^= BCD^

nella tesi ho messo solo la congruernza fra due angoli successivi perche' nei parallelogrammi gli angoli opposti sono congruenti

Dimostrazione
considero i triangoli ABC e BCD; (per renderteli piu' chiari nella figura li ho estratti)
essi hanno:

AC = BD per ipotesi
AB = CD perche' lati opposti di un parallelogramma
il lato BC in comune

Quindi i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli (tre lati) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi, in particolare ABC^= BCD^ AC = BD come volevamo

Geometria nel piano - Dino Betti

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