Verifica sperimentale dei due principi di Kirchhoff

Scegliamo un circuito su cui misurare le correnti e le tensioni in modo da verificare i due principi di Kirchhoff, cioè quello delle correnti ai nodi e quello delle tensioni nelle maglie.

	E = 12 V R1 = 100 W R2 = 100 W R3 = 1.000 W R4 = 2.200 W
schema elettrico	dati conosciuti

Come vediamo nel circuito nel nodo A vi sono tre correnti.

Il principio di Kirchhoff delle correnti dice che in un qualunque nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti. 

Nel nodo A la formula è la seguente:

Ci servono allora tre amperometri da collegare in modo da misurare le tre correnti; poiché gli amperometri vanno collegati in serie al circuito in cui si misura la corrente, occorre interrompere i collegamenti del nodo A e inserire in ogni collegamento un amperometro. Lo schema elettrico di misura diventa il seguente:

Schema elettrico di misura delle tre correnti nel nodo A

Calcoli teorici

circuito equivalente a quello iniziale

Notiamo, ora, che i tre resistori sono collegati in serie e quindi ci calcoliamo  la resistenza equivalente dei tre resistori collegati in serie:

R_T = R₁ + R₂ + R_p = 100 + 100 + 687,5 = 887,5 W

Il circuito diventa:

Con la legge di Ohm ci calcoliamo la corrente totale del circuito.

V_t = R_t x I_t

Ricaviamo la formula inversa e ci calcoliamo la corrente totale:

I_t =      Vt      =    12      =  0,0135211  A
             Rt            887,5

Ritornando, ora, al circuito equivalente con i tre resistori in serie:

circuito equivalente a quello iniziale

Essendo tutti i componenti collegati in serie avranno tutti la stessa corrente; quindi:

I₁ = I₂ = I_p =  I_t = 0,0135211 A

Non resta ora che calcolare le tre tensioni dei tre resistori:

V₁ = R₁ x I₁= 100 x 0,0135211 = 1,35211 V

Analogamente per R₂ otteniamo:

V₂ = R₂ x I₂= 100 x 0,0135211 = 1,35211 V

Analogamente per R_p otteniamo:

V_p = R_p x I_p= 687,5 x 0,0135211 = 9,29577 V

schema elettrico iniziale

Ma poiché R_p rappresenta il parallelo tra R₃ ed R₄, vuol dire che sia R₃ che R₄  avranno la stessa tensione del parallelo, e cioè otteniamo:

Misura in laboratorio

In laboratorio disponiamo dei resistori con tolleranza del 5% e di strumenti di misura di classe 0,5. Di conseguenza avremo che i valori di misura pratici saranno differenti da quelli teorici, a causa sia della tolleranza dei resistori che degli errori introdotti dagli strumenti di misura.

Controlliamo prima il nodo A. Ci prepariamo ora una tabella in cui scrivere i risultati della misura, e, dopo aver controllato tutti i collegamenti, possiamo accendere l'alimentatore di tensione continua da 12 V

Come avevamo previsto le misure delle correnti sono diverse da quelle teoriche, a causa della tolleranza del 5% sul valore teorico dei resistori e agli errori di misura dovuti agli strumenti.

Inoltre la somma delle due correnti uscenti è diversa da quella entrante a causa degli errori di misura introdotti dagli amperometri.

Tuttavia possiamo tranquillamente dire che il primo principio delle correnti è soddisfatto nel nodo A, a meno degli errori di misura, dovuti alla classe di precisione degli strumenti utilizzati.

Verifica di una maglia

Consideriamo la maglia esterna del circuito, costituita dal generatore E e dai tre resistori R₁, R₄, R₂. Poiché vogliamo misurare le tensioni di tutti i componenti della maglia, mettiamo quattro voltmetri, ciascuno in parallelo ai quattro componenti della maglia.

circuito di misura

Ci prepariamo ora una tabella in cui scrivere i risultati della misura, e, dopo aver controllato tutti i collegamenti, possiamo accendere l'alimentatore di tensione continua e regolarlo sui 12 V precisi.

Vediamo, ora, se il secondo principio delle maglie è soddisfatto. Mettiamo i segni + e -vicino ad ogni resistore, e fissiamo un verso di percorrenza della maglia.

Circuito per scrivere l'equazione della maglia esterna

Applichiamo il secondo principio di Kirchhoff delle maglie. Facciamo prima la somma di tutti i generatori di tensione presenti, che poi è uno solo cioè E ; lo prendiamo col segno +, in quanto abbiamo incontrato prima il -. Anche le tre tensioni V₁ e  V₄ e  V₂ le prendiamo col segno +, in quanto per i resistori il segno è concorde; quindi l'equazione della  maglia sarà:

E = V₁ + V₄ +V₂

Mettendo i valori dei calcoli teorici, otteniamo

12 =  1,35211 + 9,29577 + 1,35211 = 11,99999

e quindi possiamo dire che il secondo principio è soddisfatto per i valori teorici, a meno delle approssimazioni delle cifre decimali.

Mettendo, invece, i valori misurati, otteniamo:

12 = 1,32 + 9,36 + 1,30 = 11,98

e quindi possiamo dire che il secondo principio è soddisfatto anche  per i valori misurati, a meno degli errori dovuti alla classe di precisione degli strumenti.

Osservazioni

In questa misura abbiamo semplificato i circuiti, trascurando sia le resistenze interne degli amperometri che le resistenze interne dei voltmetri. Infatti, se avessimo voluto fare le cose più precise, avremmo dovuto considerare nei calcoli teorici e in quelli pratici, non i valori dei resistori assegnati, ma quelli ottenuti:

1 - Per la misura delle correnti: la resistenza in serie di ciascun resistore sommata a quella interna del rispettivo amperometro;

2 - Per la misura delle tensioni: la resistenza di ciascun resistore in parallelo con la resistenza interna del rispettivo voltmetro.

In tal caso i calcoli sarebbero stati molto più complessi.

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Prof. Pietro De Paolis

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