Verifica sperimentale dei due principi di Kirchhoff

Scegliamo un circuito su cui misurare le correnti e le tensioni in modo da verificare i due principi di Kirchhoff, cioè quello delle correnti ai nodi e quello delle tensioni nelle maglie.

E = 12 V

R1 = 100 W

R2 = 100 W

R3 = 1.000 W

R4 = 2.200 W

 

schema elettrico

dati conosciuti

Come vediamo nel circuito nel nodo A vi sono tre correnti.

Il principio di Kirchhoff delle correnti dice che in un qualunque nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti

Nel nodo A la formula è la seguente:

I1 = I3 + I4

Ci servono allora tre amperometri da collegare in modo da misurare le tre correnti; poiché gli amperometri vanno collegati in serie al circuito in cui si misura la corrente, occorre interrompere i collegamenti del nodo A e inserire in ogni collegamento un amperometro. Lo schema elettrico di misura diventa il seguente:

Schema elettrico di misura delle tre correnti nel nodo A

Calcoli teorici

Prima di effettuare la misura in laboratorio ci facciamo dei calcoli teorici, in modo da poter usare le portate opportune dei voltmetri e degli amperometri. Ci calcoliamo ora tutte le tensioni e tutte le correnti del circuito.

Poiché i due resistori R3 ed R4 sono in parallelo ci calcoliamo la loro resistenza equivalente Rp:

Rp =                             1                       =
                             1      +       1     .
                              R3                  R4 .

 

 =                1                       =  687,5 W
              1      +       1     .
            1000             2200 .

Sostituendo ai due resistori R3 ed R4 il loro parallelo Rp, il circuito diventa:

circuito equivalente a quello iniziale

Notiamo, ora, che i tre resistori sono collegati in serie e quindi ci calcoliamo  la resistenza equivalente dei tre resistori collegati in serie:

RT = R1 + R2 + Rp = 100 + 100 + 687,5 = 887,5 W

Il circuito diventa:

Circuito equivalente a quello iniziale

 

Con la legge di Ohm ci calcoliamo la corrente totale del circuito.

Vt = Rt x It

Ricaviamo la formula inversa e ci calcoliamo la corrente totale:

It =      Vt        12      =  0,0135211  A
             Rt            887,5

Ritornando, ora, al circuito equivalente con i tre resistori in serie:

circuito equivalente a quello iniziale

 

Essendo tutti i componenti collegati in serie avranno tutti la stessa corrente; quindi:

I1 = I2 = Ip =  It = 0,0135211 A

Non resta ora che calcolare le tre tensioni dei tre resistori:

V1 = R1 x I1= 100 x 0,0135211 = 1,35211 V

Analogamente per R2 otteniamo:

V2 = R2 x I2= 100 x 0,0135211 = 1,35211 V

Analogamente per Rp otteniamo:

Vp = Rp x Ip= 687,5 x 0,0135211 = 9,29577 V

schema elettrico iniziale

 

Ma poiché Rp rappresenta il parallelo tra R3 ed R4, vuol dire che sia R3 che R4  avranno la stessa tensione del parallelo, e cioè otteniamo:

V3 = V4 = Vp  =  9,29577 V

Non resta ora che calcolare le due correnti dei due resistori in parallelo:

I3 =      V3        9,295  0,009295  A
            R3             1000

I4 =      V4        9,295   0,004225  A
            R4            2200

 

 

Misura in laboratorio

In laboratorio disponiamo dei resistori con tolleranza del 5% e di strumenti di misura di classe 0,5. Di conseguenza avremo che i valori di misura pratici saranno differenti da quelli teorici, a causa sia della tolleranza dei resistori che degli errori introdotti dagli strumenti di misura.

Controlliamo prima il nodo A. Ci prepariamo ora una tabella in cui scrivere i risultati della misura, e, dopo aver controllato tutti i collegamenti, possiamo accendere l'alimentatore di tensione continua da 12 V

I1 [ mA] I3 [ mA] I4 [ mA] I3+ I4

13,52

9,14

4,33

13,49
lettura dell'amperometro lettura dell'amperometro lettura dell'amperometro  calcoli da fare

 

Come avevamo previsto le misure delle correnti sono diverse da quelle teoriche, a causa della tolleranza del 5% sul valore teorico dei resistori e agli errori di misura dovuti agli strumenti.

Inoltre la somma delle due correnti uscenti è diversa da quella entrante a causa degli errori di misura introdotti dagli amperometri.

Tuttavia possiamo tranquillamente dire che il primo principio delle correnti è soddisfatto nel nodo A, a meno degli errori di misura, dovuti alla classe di precisione degli strumenti utilizzati.

Verifica di una maglia

Consideriamo la maglia esterna del circuito, costituita dal generatore E e dai tre resistori R1, R4, R2. Poiché vogliamo misurare le tensioni di tutti i componenti della maglia, mettiamo quattro voltmetri, ciascuno in parallelo ai quattro componenti della maglia.

circuito di misura

 

Ci prepariamo ora una tabella in cui scrivere i risultati della misura, e, dopo aver controllato tutti i collegamenti, possiamo accendere l'alimentatore di tensione continua e regolarlo sui 12 V precisi.

E [ V] V1 [ V] V4 [ V] V2 [ V]

12,00

1,32

9,36

1,30
lettura del voltmetro lettura del voltmetro lettura del voltmetro lettura del voltmetro 

 

Vediamo, ora, se il secondo principio delle maglie è soddisfatto. Mettiamo i segni + e -vicino ad ogni resistore, e fissiamo un verso di percorrenza della maglia.

 

Circuito per scrivere l'equazione della maglia esterna

Applichiamo il secondo principio di Kirchhoff delle maglie. Facciamo prima la somma di tutti i generatori di tensione presenti, che poi è uno solo cioè E ; lo prendiamo col segno +, in quanto abbiamo incontrato prima il -. Anche le tre tensioni V1 e  V4 e  V2 le prendiamo col segno +, in quanto per i resistori il segno è concorde; quindi l'equazione della  maglia sarà:

E = V1 + V4 +V2

Mettendo i valori dei calcoli teorici, otteniamo

12 =  1,35211 + 9,29577 + 1,35211 = 11,99999

 

e quindi possiamo dire che il secondo principio è soddisfatto per i valori teorici, a meno delle approssimazioni delle cifre decimali.

Mettendo, invece, i valori misurati, otteniamo:

12 = 1,32 + 9,36 + 1,30 = 11,98

e quindi possiamo dire che il secondo principio è soddisfatto anche  per i valori misurati, a meno degli errori dovuti alla classe di precisione degli strumenti.

Osservazioni

In questa misura abbiamo semplificato i circuiti, trascurando sia le resistenze interne degli amperometri che le resistenze interne dei voltmetri. Infatti, se avessimo voluto fare le cose più precise, avremmo dovuto considerare nei calcoli teorici e in quelli pratici, non i valori dei resistori assegnati, ma quelli ottenuti:

1 - Per la misura delle correnti: la resistenza in serie di ciascun resistore sommata a quella interna del rispettivo amperometro;

2 - Per la misura delle tensioni: la resistenza di ciascun resistore in parallelo con la resistenza interna del rispettivo voltmetro.

In tal caso i calcoli sarebbero stati molto più complessi.

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Prof. Pietro De Paolis

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