Il moto circolare
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Moto circolare
Il moto si chiama moto curvilineo quando il percorso segue una curva.
Il moto si chiama moto circolare quando il percorso segue la circonferenza di un cerchio.
Nel moto curvilineo il vettore velocità v è considerato composto da due vettori.
Nella figura di sopra il vettore velocità è v
; lo considero come somma di due parti.Si usa scrivere la somma vettoriale in questo modo:
v = vx + vy
Questa formula ci dice due cose; per prima cosa il vettore velocità è la somma dei due vettori, cioè vx + vy
Inoltre ci dice che posso scomporre la velocità in due parti, mentre il veicolo cammina e svolta a destra; cioè una parte della velocità continua diritta e cioè la vy ; mentre una parte della velocità va verso destra e cioè la vx
Analogamente nel moto circolare abbiamo due componenti o due vettori.
Il vettore velocità
v lo consideriamo costante, anche perché in curva è preferibile non frenare durante la curva, ma frenare prima dell'inizio della curva.Vi è inoltre un altro vettore che indichiamo con vc
Il vettore vc rappresenta una forza che spinge il veicolo verso destra, in particolare verso il centro della circonferenza; la circonferenza ha raggio r.
Vi è, quindi, solo un cambiamento di direzione della velocità, mentre il modulo della velocità, cioè il valore, resta costante.
Il vettore vc lo chiamiamo velocità centripeta, cioè velocità diretta verso il centro della circonferenza.
Il vettore v lo chiamiamo velocità tangenziale, cioè velocità diretta secondo la retta tangente la circonferenza. I due vettori formano un angolo retto, cioè un angolo di 90 gradi.
Se consideriamo costante la velocità tangenziale, il moto lo chiamiamo moto circolare uniforme.
Lo stesso discorso lo possiamo fare nella curva a sinistra.
Vediamo ora di fare dei calcoli, validi per il moto circolare uniforme, cioè come se il percorso fosse una pista perfettamente circolare e la si percorre a velocità costante.
Gli angoli di solito li indichiamo con le lettere greche, cioè alfa, beta, gamma.
Esiste un'altra lettera greca per gli angoli; si chiama teta e si scrive θ.
Una variazione dell'angolo θ la posso indicare con ∆θ.
Una variazione di tempo la indico come al solito con ∆t
Considero che anche i vettori ruotano attorno al centro della circonferenza, come avviene per il vettore velocità v
Si chiama velocità angolare la velocità con cui ruota un vettore attorno al centro della circonferenza; quindi:
Si chiama velocità angolare e si indica con la lettera greca ω il rapporto tra la variazione dell'angolo ∆θ nella variazione di tempo ∆t
L'unità di misura della velocità angolare dovrebbero essere i gradi al secondo, ma si usano come unità di misura i radianti al secondo.
Il radiante deriva dal numero pi greca
ϖUn angolo di 360° = 2ϖ radianti, cioè un angolo giro.
Un angolo di 180° = ϖ radianti, cioè un angolo piatto.
Un angolo di 90° = ϖ/2 radianti, cioè un angolo retto.
Radianti si abbrevia con rad
L'unità di misura della velocità angolare ω è: rad/s
Il tempo che impiega un vettore per compiere un giro intero si chiama periodo e si indica con la lettera T maiuscola. T si misura in secondi.
Posso, quindi, scrivere che la velocità angolare sia:
A volte si introduce anche la frequenza, che si indica con la lettera f e si misura in Hertz, col simbolo Hz.
La frequenza è il numero di giri compiuti nel tempo di un secondo.
Quindi il periodo T è:
Infine la velocità angolare ω è anche:
ω = 2 ϖ f
Queste formule ci servono per il calcolo della velocità in modulo, cioè la velocità tangenziale in modulo. Infatti l'intero percorso in un giro è uguale alla lunghezza della circonferenza che è uguale a 2ϖr, dove r è il raggio.
Per cui il modulo della velocità tangenziale è:
cioè il rapporto tra la lunghezza della circonferenza 2ϖr e il tempo T impiegato a percorrerla interamente. Ma essendo anche:
si ha che:
v = ω r
Questa formula ci serve per definire la velocità tangenziale in modulo e per calcolarla.
La velocità tangenziale v è il prodotto della velocità angolare ω per il raggio r.
Anche il vettore accelerazione a ruota con velocità angolare ω attorno al centro della circonferenza.
Poiché però consideriamo la velocità tangenziale costante, la variazione di velocità nel tempo T è nulla; quindi anche l'accelerazione tangenziale è nulla in quanto è data dal rapporto della variazione di velocità rispetto al tempo. Non è nulla l'accelerazione centripeta, cioè quella che evita che l'auto esca fuori strada.
Ci serve, ora, il calcolo della accelerazione centripeta. Non facciamo i calcoli di prodotto tra vettori, ma mettiamo la formula finale:
Questa formula ci dice che l'accelerazione centripeta ac in modulo è uguale al rapporto tra la velocità al quadrato rispetto al raggio r.
Il verso del vettore accelerazione ac è verso il centro della circonferenza; la direzione è quella del raggio.
Esercizio
Un autoveicolo percorre interamente una pista circolare avente il raggio di 1000 m nel tempo T = 251,2 s a velocità costante.
Calcolare la velocità tangenziale e l'accelerazione centripeta.
Quale valore di velocità si vede sul computer dell'auto?
Svolgimento
Mi calcolo dapprima la velocità angolare ω usando la formula:
Il tempo T lo chiamo periodo, in quanto è il tempo impiegato per compiere un intero giro. Metto i valori ed ottengo:
Mi calcolo il modulo della velocità tangenziale con la formula:
v = ω r
Metto i valori ed ottengo:
v = ω r = 0,025 x 1000 = 25 m/s
Essendo la velocità costante il moto è circolare uniforme e l'accelerazione tangenziale è nulla.
Mi calcolo l'accelerazione centripeta ac in modulo con la formula:
Metto i valori ed ottengo:
Si presume che sul cruscotto si veda la velocità espressa in km/h.
Essendo un'ora di 3600 secondi ottengo:
25 m/s = 25 x 3600 = 90000 m/h = 90 km/h
Risposta
Il modulo della velocità tangenziale è 25 m/s.
L'accelerazione centripeta ac in modulo è 0,625 m/s2
Il computer segna 90 km/h.
2021
prof. Pietro De Paolis
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