Gli insiemi - parte 2 - Aritmetica facile

Gli insiemi parte 2

data di oggi:

Classe 1^a della scuola media

Insieme delle parti

Oggi parliamo dell'insieme delle parti di un insieme.

I giorni della settimana sono 7 e sono: lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato e domenica.

Consideriamo l'insieme dei primi 3 giorni della settimana. Sia

A = {lunedì, martedì, mercoledì}

I sottoinsiemi di A si formano facendo le combinazioni di tutti gli elementi di A.

I sottoinsiemi propri di A sono:

{lunedì}; {martedì};{mercoledì}; {lunedì,martedì}; {lunedì, mercoledì}; {martedì, mercoledì}.

I sottoinsiemi impropri di A sono:

Ø; {lunedì, martedì, mercoledì};

Se consideriamo un altro insieme formato da tutti i sottoinsieme di A, sia sottoinsiemi propri, sia sottoinsiemi impropri, otteniamo un nuovo insieme che si chiama insieme delle parti di A e si indica con il simbolo P_A

Il simbolo P indica l'insieme delle parti; il simbolo A indica l'insieme a cui ci si riferisce; nel nostro caso A sono i primi 3 giorni della settimana.

Per elencazione l'insieme delle parti di A è:

P_A = {Ø; {lunedì, martedì, mercoledì}; {lunedì}; {martedì};{mercoledì}; {lunedì,martedì}; {lunedì, mercoledì}; {martedì, mercoledì}}

Per caratteristica l'insieme delle parti di A è:

P_A = {x │ x è sottoinsieme proprio ed improprio di A}

leggiamo: l'insieme delle parti di A è uguale agli ics aventi la proprietà che ics è un sottoinsieme proprio ed improprio di A

Con diagramma di Venn l'insieme delle parti di A è:

L'insieme delle parti non va confuso con la partizione di un insieme.

Partizione di un insieme

Consideriamo l'insieme dei primi 3 giorni della settimana. Sia

A = {lunedì, martedì, mercoledì}

Dividiamo l'insieme A in tre parti, considerando un solo giorno; quindi, otteniamo tre sottoinsiemi propri:

B = {lunedì}

C = {martedì}

D = {mercoledì}

Gli elementi degli insiemi non sono ripetuti; mancano i due insiemi impropri, cioè manca l'insieme vuoto Ø e l'insieme A stesso. Ho fatto una partizione dell'insieme A.

La partizione è una divisione dell'insieme in un numero di sottoinsiemi propri a piacere; inoltre la partizione deve soddisfare tre proprietà:

1 - nessuno degli insiemi deve essere vuoto, né vi deve essere l'insieme di partenza; cioè tutti i sottoinsiemi devono essere propri.

2 - I sottoinsiemi non devono avere elementi in comune; cioè ogni elemento va considerato una sola volta.

3 - Unendo tutti i sottoinsiemi si deve ottenere l'insieme di partenza, con tutti gli elementi, nessuno escluso.

Potevamo anche dividere l'insieme A in due parti.

La partizione ora contiene due sottoinsiemi propri:

quindi, otteniamo due sottoinsiemi propri:

B = {lunedì}

C = {martedì, mercoledì}

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Insiemi disgiunti

Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune;cioè un elemento appartiene ad uno solo degli insiemi considerati.

Considero ora sempre i primi tre giorni della settimana ma in questo modo.

A = {lunedì}

B = {martedì, mercoledì}

I due insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune; i due insiemi si dicono disgiunti.

Nella partizione degli insiemi, tutti i sottoinsiemi sono disgiunti; invece nell'insieme delle parti i sottoinsiemi non sono disgiunti, in quanto alcuni sottoinsiemi hanno elementi in comune.

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Unione di insiemi

L'unione di due insiemi è un altro insieme che contiene tutti gli elementi dei due insiemi.

Dati due insiemi A e B.

A = {lunedì, martedì, mercoledì}

B = {giovedì, venerdì, sabato, domenica}

L'insieme A ha come elementi i primi tre giorni della settimana; descrivendo l'insieme A per caratteristica ho:

A = {x │ x è uno dei primi 3 giorni della settimana}

leggo: A è uguale agli x che hanno la proprietà che x è uno dei primi 3 giorni della settimana.

L'insieme B ha come elementi gli ultimi quattro giorni della settimana; descrivendo l'insieme B per caratteristica ho:

B = {x │ x è uno degli ultimi 4 giorni della settimana}

Nell'unione dei due insieme ottengo un altro insieme che indico con C; il simbolo dell'unione è la lettera U maiuscola stampatello.

C = AUB

leggo: C è uguale ad A unione B

Per fare l'unione devo prendere tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B, una sola volta; quindi C è per elencazione:

C = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}

Mentre per caratteristica C è:

C = {x │ x è uno dei 7 giorni della settimana}

oppure:

C = {x │ x è un giorno della settimana}

leggo: C è uguale agli x che hanno la proprietà che x è un giorno della settimana.

Nel fare l'unione dei due insiemi devo prendere gli elementi comuni e non comuni dei due insiemi, ma una sola volta.

Esempio

Dati due insiemi A e B.

A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì}

B = {giovedì, venerdì, sabato, domenica}

L'insieme A ha come elementi i primi 4 giorni della settimana; descrivendo l'insieme A per caratteristica ho:

A = {x │ x è uno dei primi 4 giorni della settimana}

L'insieme B ha come elementi gli ultimi quattro giorni della settimana; descrivendo l'insieme B per caratteristica ho:

B = {x │ x è uno degli ultimi 4 giorni della settimana}

Notiamo che il giorno giovedì è un elemento sia di A sia di B. Nel fare l'unione:

C = AUB

leggo: C è uguale ad A unione B

il giorno giovedì lo prendo una volta sola, anche se appartiene sia ad A sia a B.

C = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}

Mentre per caratteristica C è:

C = {x │ x è un giorno della settimana}

leggo: C è uguale agli x che hanno la proprietà che x è un giorno della settimana.

Attenzione a non confondere il concetto di unione con il concetto di somma; se avessi fatto la somma dei due insiemi, giovedì avrei dovuto prenderlo due volte; mentre nell'unione degli insiemi un elemento non va mai ripetuto, cioè va preso una sola volta.

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Intersezione di insiemi

Si dice intersezione di insiemi un insieme che contiene solo gli elementi comuni ai due insiemi, presi sempre una sola volta. Il simbolo della intersezione è:

Una specie di U capovolta e si legge: intersezione.

Dati due insiemi A e B.

A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì}

B = {giovedì, venerdì, sabato, domenica}

L'insieme A ha come elementi i primi 4 giorni della settimana; descrivendo l'insieme A per caratteristica ho:

A = {x │ x è uno dei primi 4 giorni della settimana}

L'insieme B ha come elementi gli ultimi quattro giorni della settimana; descrivendo l'insieme B per caratteristica ho:

B = {x │ x è uno degli ultimi 4 giorni della settimana}

Notiamo che il giorno giovedì è un elemento sia di A sia di B. Nel fare l'intersezione dei due insiemi:

C = A B

leggo: C è uguale ad A intersezione B

noto che il giorno giovedì è l'unico elemento che appartiene sia ad A sia a B. Lo prendo una volta sola, quindi per elencazione ottengo:

C = {giovedì}

Mentre per caratteristica C è:

C = {x │ x è un giorno della settimana che appartiene sia ad A sia a B}

leggo: C è uguale agli x che hanno la proprietà che x è un giorno della settimana che appartiene sia ad A sia a B.

Posso anche scrivere:

C = {x │ x A e x B}

leggo: C è uguale agli x che hanno la proprietà che x appartiene ad A e x appartiene a B.

Riepilogando:

A B = C = {x │ x A e x B}

leggo: la intersezione di A e B è uguale a C; è uguale agli x che hanno la proprietà che x appartiene appartiene ad A e x appartiene a B.

A volte il diagramma degli insiemi, detto diagramma di Venn, viene fatto in questo modo:

Casi particolari di intersezione

Se due insiemi non hanno elementi in comune, la intersezione di A e B è l'insieme vuoto.

A B = Ø

I due insiemi si dicono disgiunti, in quanto non hanno elementi in comune.

Esempio

A = {gennaio, febbraio, marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre} = {x │ x è un mese dell'anno}

B = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica} = {x │ x è un giorno della settimana}

I due insiemi non hanno elementi in comune; la intersezione di A e B è l'insieme vuoto.

A B = Ø

I due insiemi si dicono disgiunti, in quanto non hanno elementi in comune.

Un altro caso particolare si ha quando l'insieme B è contenuto in A.

Sia:

A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica} = {x │ x è un giorno della settimana}

B = {domenica} = {x │ x è un giorno festivo della settimana}

I due insiemi hanno un solo elemento in comune, cioè domenica; la intersezione di A e B è l'insieme B stesso.

A B = {domenica} = B

In questo caso B è contenuto in A

B A

leggiamo: B contenuto in A.

B è un sottoinsieme proprio di A.

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Differenza di insiemi

La differenza tra due insiemi A e B si ottiene togliendo da A tutti gli elementi di B; si ottiene in tal modo un nuovo insieme, detto insieme differenza, che è costituito dagli elementi di A che non appartengono anche a B. Il simbolo della differenza è il segno meno - oppure il segno \, che leggo: meno.

Quindi scrivo:

C = A-B

e leggo:

C uguale ad A meno B

oppure leggo:

C uguale A differenza B.

Posso anche scrivere:

C = A \ B

e leggo:

C uguale ad A meno B

oppure leggo:

C uguale A differenza B.

Esempio

Dati due insiemi A e B.

A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì}

B = {giovedì, venerdì, sabato, domenica}

L'insieme A ha come elementi i primi 4 giorni della settimana; descrivendo l'insieme A per caratteristica ho:

A = {x │ x è uno dei primi 4 giorni della settimana}

leggo: A è uguale agli x che hanno la proprietà che x è uno dei primi 4 giorni della settimana.

L'insieme B ha come elementi gli ultimi quattro giorni della settimana; descrivendo l'insieme B per caratteristica ho:

B = {x │ x è uno degli ultimi 4 giorni della settimana}

Nella differenza dei due insieme ottengo un altro insieme che indico con C; noto che non è come la differenza tra numeri, nella quale il sottraendo, cioè il secondo numero, deve essere più piccolo del minuendo, cioè del primo numero, che è sempre più grande. Nella differenza tra due insiemi tolgo solo gli elementi del secondo insieme che sono anche elementi del primo insieme, che poi sono gli elementi di A B.

Noto, quindi, che solo giovedì appartiene sia ad A sia a B. Quindi dall'insieme A tolgo solo giovedì ed ottengo:

C = A - B = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì} - {giovedì, venerdì, sabato, domenica} = {lunedì, martedì, mercoledì}

Posso anche fare:

C = B - A = {giovedì, venerdì, sabato, domenica} - {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì} = {venerdì, sabato, domenica}

Questa volta ho tolto giovedì dall'insieme B, essendo l'unico elemento in comune.

Casi particolari

Un caso particolare è quando B è sottoinsieme di A, cioè:

B A

leggiamo: B contenuto in A.

In questo caso l'insieme differenza, cioè

C = A - B

si chiama insieme complementare di B rispetto ad A e si indica in questo modo: