Matematica utile

Le proporzioni ci servono per risolvere alcuni problemi nei quali conosciamo tre grandezze, cioè tre numeri, e ci manca un quarto numero che non conosciamo e che vogliamo calcolare.

due frazioni uguali

Per fare una proporzione servono due frazioni uguali come rapporto, cioè come risultato o come quoziente.

Esempio

4:2 = 2

Se calcolo quattro diviso due, ottengo come risultato 2.

8:4 = 2

Se calcolo otto diviso quattro, ottengo come risultato sempre 2.

la proporzione

Unisco le due frazioni uguali e le scrivo in questo modo:

4:2=8:4

Se scrivo in questo modo ho scritto una eguaglianza, in quanto ho messo il simbolo di = (uguale) al centro; questa eguaglianza si chiama proporzione.

Il vantaggio si ha in alcuni problemi in cui si conoscono tre numeri ma manca il quarto.

Esempio

Trova il numero che non conosco e che indico con la lettera x (ics), da non confondere con il per.

x:2=8:4

Soluzione

Se mi ricordo una proporzione, tipo questa:

4:2=8:4

posso dire subito che il numero nascosto, cioè non conosciuto o incognito è il numero 4.

Quindi scrivo:

x=4

Ci serve, ora, una regola che vale sempre, per cui occorre dare dei nomi agli elementi di ogni proporzione.

 

la proporzione

Si chiama antecedente il numero che si trova prima del simbolo della divisione, cioè prima di : (due punti).

Se scrivo:

4:2

l'antecedente è 4, perché si trova prima del diviso.

Se scrivo:

8:4

l'antecedente è 8, perché si trova prima del diviso.

Si chiama conseguente il numero che si trova dopo la divisione.

Se scrivo:

4:2

il conseguente è 2, perché si trova dopo la divisione.

Se scrivo:

8:4

il conseguente è 4, perché si trova dopo la divisione.

Consideriamo ora la seguente proporzione:

4:2=6:3

Si legge:quattro sta a due come sei sta a tre.

 

la proporzione

Oltre a precedente e conseguente, occorre distinguere i quattro numeri della proporzione in base alla posizione in cui si trovano. La parola estremo significa che si trova quasi all'esterno, cioè lontano dal centro.

Consideriamo ora la seguente proporzione:

4:2=6:3

Gli estremi della proporzione sono i numeri 4 e 3; essi infatti si trovano sull'inizio della proporzione, cioè il 4; mentre il 3 si trova sulla fine della proporzione.

I due numeri che stanno al centro si chiamano medi, cioè stanno nel mezzo, nel centro della proporzione.

Consideriamo ora la seguente proporzione:

4:2=6:3

I medi della proporzione sono i numeri 2 e 6; essi infatti si trovano nel centro, vicini al simbolo di eguaglianza, cioè di = (uguale).

Questi nomi ci servono per scrivere le regole di una proporzione; esse valgono per ogni proporzione.

Proprietà fondamentale

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Vediamo se è vera questa prima proprietà.

Consideriamo la seguente proporzione:

4:2=6:3

Gli estremi della proporzione sono i numeri 4 e 3;

Eseguo la moltiplicazione:

Al posto di mettere il per con la lettera x è meglio mettere un punto al centro, per distinguerlo dalla lettera sconosciuta, detta incognita.

Consideriamo la seguente proporzione:

4:2=6:3

I medi della proporzione sono i numeri 2 e 6;

2 · 6 = 12

La prima proprietà è vera. Proviamo con un'altra proporzione.

4:2=8:4

I medi sono 2 e 8; ho:

2 · 8 = 16

Gli estremi sono 4 e 4; ho:

4 · 4 = 16

La prima proprietà è vera anche per questa proporzione.

Ripetiamo, quindi, che la proprietà fondamentale delle proporzioni è:

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Questa proprietà fondamentale ci serve per risolvere alcuni problemi.

Esempio

Data la proporzione:

4:2=6:x

trovare il valore della incognita x.

Soluzione

Sappiamo già che x=3, ma dobbiamo sfruttare la prima proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Considero la proporzione:

4:2=6:x

i medi sono 2 e 6; ho:

2 · 6 = 12

Gli estremi sono 4 e x; ho:

4 · x = 12

essendo il prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi; per trovare la x, divido per 4 primo e secondo membro ed ottengo:

Quindi x=3 come sapevamo già.

Esempio

Data la proporzione:

4:x=6:3

trovare il valore della incognita x.

Soluzione

Sappiamo già che x=2, ma dobbiamo sfruttare la prima proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Considero la proporzione:

4:x=6:3

Gli estremi sono 4 e 3; ho:

4 · 3 = 12

I medi sono x e 6; ho:

6 · x = 12

essendo il prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi; per trovare la x, divido per 6 primo e secondo membro ed ottengo:

Quindi x=2 come sapevamo già.

Consideriamo ora la seguente proporzione:

9:x=x:4

Gli estremi della proporzione sono 9 e 4;

ho:

9 · 4 = 36

I medi sono x e x; ho:

x · x = 36 cioè:

x²=36

Eseguo la radice quadrata del primo e del secondo membro ed ottengo:

x=6

La proporzione è quindi:

9:6=6:4

Una proporzione in cui i due medi sono costituiti dallo stesso numero si dice proporzione continua; e il numero medio si chiama medio proporzionale della proporzione. Il medio proporzionale viene usato anche nei teoremi di Euclide.

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. Questo è il primo Teorema di Euclide.

Il secondo Teorema di Euclide dice:

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Esempio

In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono rispettivamente 9 cm e 16 cm. Calcola l'altezza relativa all'ipotenusa.

Dati
Poligono: triangolo rettangolo BCA
proiezione BH del cateto AB su ipotenusa = 9 cm
proiezione HC del cateto AC su ipotenusa = 16 cm

Soluzione

Si richiede segmento AH = altezza h relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo BCA avente:
proiezione BH del cateto AB su ipotenusa = 9 cm
proiezione HC del cateto AC su ipotenusa = 16 cm
Applico la formula derivata dal 2° Teorema di Euclide che dice:
L'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
ed ottengo:
altezza h relativa all'ipotenusa = = = 12 cm


Risposta
L'altezza h relativa all'ipotenusa del triangolo rettangolo ABC è: h = 12 cm.

Esempio

In un triangolo rettangolo l'ipotenusa misura 25 cm e la proiezione di un cateto sull'ipotenusa è di 9 cm.  Calcola i due cateti.


Dati
Poligono: triangolo rettangolo BCA
ipotenusa a = 25 cm
proiezione cateto b su ipotenusa = 9 cm

Soluzione

Si richiede un cateto di un triangolo rettangolo BCA avente:
proiezione HC del cateto b su ipotenusa = 9 cm
ipotenusa a = BC = 25 cm
Applico la formula derivata dal 1° Teorema di Euclide:
cateto b = AC = V a x HC ed ottengo:
b = V25 x 9 = 15 cm
Mi calcolo la proiezione BH del cateto c su ipotenusa con la formula:
BH = BC - HC = 25 - 9 = 16 cm
Per il cateto c = BA applico la formula derivata dal 1° Teorema di Euclide che dice:
Un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.
ed ottengo:
cateto c = BA = V a x BH ed ottengo:
c = V25 x 16 = 20 cm

Risposta
Un cateto del triangolo rettangolo BCA è b = 15 cm.
L'altro cateto del triangolo rettangolo BCA è c = 20 cm.
 

prof. Pietro De Paolis

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